■iPhone
①オプション -> アカウント -> 同期より、Appleとfacebookの同期をおこなう
②Apple ID → iCloud → iCloudバックアップ → 今すぐバックアップを作成
③機種変更後Appとデータの選択で“Appとデータ引き継ぐ”を選択
④App Store から Battle Bay をダウンロード&インストール
⑤進行を復元するかの選択で"はい"を選ぶ
⑥チュートリアル後①と同様にアカウントの同期をおこなう
■アンドロイド
①オプション -> アカウント -> 同期より、Play ゲームとfacebookの同期をおこなう
②機種変更後Battle Bayをインストール
③チュートリアル後①と同様にアカウントの同期をおこなう
④進行を復元するかの選択で"はい"を選びアカウントを選択
■iPhone-アンドロイド間
OS間の移行でも同期をしておくべきですが、うまくいかない可能性が高いです。
support@rovio.com にメール または https://forum.battlebay.net/ に移行申請をしてみましょう。
ただし日本語対応していないので、英語(たぶんフィンランド語でも可)での申請になります。